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Deine Klasse hat also eine Member-Variable m_Hintergrundbild.
Wenn du im Konstruktor das hier schreibst:

m_Hintergrundbild = new sf::Texture;

Dann weist du, wie gewünscht, der Member-Variable einen Wert zu.
Schreibst du jedoch das hier:

sf::Texture* m_Hintergrundbild = new sf::Texture;

Dann erzeugst du lediglich eine lokale Variable, die dummerweise ebenfalls m_Hintergrundbild heißt.
Diese Variable verdeckt die Member-Variable. Die Member-Variable bleibt unverändert.
Es wird zwar ein sf::Texture-Objekt erzeugt, aber nach dem Verlassen des Konstruktors ist der Zeiger darauf weg und das Objekt ist "verwaist".

Zusatzinfo:
Um trotz lokaler Variable mit gleichem Namen die Member-Variable anzusprechen, müsstest du this->m_Hintergrundbild schreiben.