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C-/C++-Quelltext

Hallo zusammen,
wer kann mir weiterhelfen, bei der Umwandlung von HEX nach DEZ läuft alles richtig, bis bei Hex eine "0" in der Zahlenreihe auftaucht, dann kommen Fehler in der Umwandlung, die Null wird als 17 gerechnet, was aber eine 16 sein soll. 
Wo liegt der Fehler?
Wie kann ich diesen beheben?
Danke für die Antwort.

PS. Gehe nicht mehr zur Schule ist nur Hobby für mich!!


#include <iostream>
#include <string>
#include<conio.h>       

using namespace std;

int main()
{
    string eingabe;
    
    cout << " \n\n\n\n\t\t      H E X A D E Z I M A L   N A C H   D E Z I M A L " << endl;
    cout << " \n\t\t      ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ " << endl;
    
    cout << " \n\n\t\t\t ***  Hex. nicht Größer als 8 Ziffer !  *** ";
    cout << " \n\n\n\n\t\t      Bitte Eingabe der (Hexadezimal-Zahl)  :  ";
    cin >> eingabe;

    {
        unsigned long ergebnis(0);
        unsigned char dez(0);

        for (string::iterator i(eingabe.begin()); i != eingabe.end(); ++i)
        {
            switch (*i)
            {
            case '1': dez = 1; break;
            case '2': dez = 2; break;
            case '3': dez = 3; break;
            case '4': dez = 4; break;
            case '5': dez = 5; break;
            case '6': dez = 6; break;
            case '7': dez = 7; break;
            case '8': dez = 8; break;
            case '9': dez = 9; break;
            case 'a': dez = 10; break;
            case 'b': dez = 11; break;
            case 'c': dez = 12; break;
            case 'd': dez = 13; break;
            case 'e': dez = 14; break;
            case 'f': dez = 15; break;
            }
            ergebnis = ergebnis * 16 + dez;
        }
        cout << " \n\n\n\t\t Eingabe (Hexadezimal)  : " << eingabe << "     Ausgabe (Dezimal)  : " << ergebnis << " \n\n\n " << endl;
    }
}