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Einfaches Beispiel:
Die Zahl 0,12346789101112131416171819202122232426272829... ist nicht periodisch, aber es kommt niemals eine 5 darin vor, weil ich sie so gebaut habe

@Drakon, wurde schon längst gezeigt, das pi transzendent, also insbesondere irrational ist.
Der Beweis das jede endliche zahlenfolge in pi vorkommt, muss noch erbracht werden. Bis Zifferketten der länge 7 oder 8 ist es schon gezeigt (durch brute-force rechnen). Dass jede beliebige unendliche nicht vorkommen kann, ist einfach zu beweisen (solange sie am Stück auftreten soll).

@David u got a point. An sowas einfaches wie eine Zahl rauslassen habe ich garnicht gedacht.

Meinst du den Beweis für die Aussage von CBenni::O?
Ist doch eigentlich offensichtlich. Seien x und y jeweils unterschiedliche unendlich lange Ziffernsequenzen. Wenn x in Pi vorkommt, dann kann nicht gleichzeitig auch y in Pi vorkommen, weil es nur "Platz" für eine unendliche Sequenz gibt. Die beiden würden sich sonst überlappen.

Nun, eine Folge könnte aus der anderen konstruiert werden, indem man an sie ein beliebig langes Präfix anhängt. Dann wäre sie unterschiedlich, können aber beide problemlos in PI vorkommen.

@david:
Ich sehe auch nicht ganz in wiefern Überlappung ein Problem sein sollte.

Ich würde mal so argumentieren, dass die Folge 1111..11 (unendlich) nicht vorkommen kann, weil sonst die Transzendenz nicht gegeben ist. (ohne da jetzt mehr als 2min darüber nachgedacht zu haben )

@Jonathan, nein. Du kannst eine unendliche Folge an eine endliche "anhängen" und die endliche immer länger machen, aber Induktion gilt nur für endlich viele elemente, d.h. du wirst niemals eine unendliche an eine unendliche anhängen. Mann kann die Folgen sich natürlich überlappen lassen: Seien §a_0,a_1,a_2,...§ und §b_0,b_1,b_2,...§ beliebige (auch unendliche) Folgen, dann enthält §a_0,b_0,a_1,b_1,...§ beide folgen als teilfolgen. Aber §a_0,a_1,...,b_0,b_1,...§ funktioniert nur, wenn a endlich ist. Mann könnte auch sagen "§b_0§ wird nie erreicht, weil unendlich glieder davor liegen."

Und @Checkmateing: Beweis der Irrationalität von Pi, einen schönen für die Transzendenz von Pi (also dass Pi nicht die Nullstelle irgendeines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist) habe ich nicht gefunden; Vermutlich existiert dieser auch gar nicht, da das wirklich kein einfacher beweis war (er wurde auch erst 120 Jahre nach dem Beweis der irrationalität erbracht, von Ferdinant von Lindemann), Lindemanns Veröffentlichung. Viel Spaß!