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Eigenwert, Eigenvektor

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SilentDragon

Alter Hase

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1

13.06.2010, 13:19

Eigenwert, Eigenvektor

Servus zusammen,



schreibe morgen Mathe LK und dafür müssen wir unteranderem den Eigenwert/vektor berrechnen. Das sollte (glaub ich^^) kein Problem sein.

Jedoch verstehe ich nicht was der Eigenwert/vektor ist bzw. bringt ? 8|



durch google und Wikipedia werd ich irgendwie auch nicht schlauer ^^



lg

SD
...

drakon

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2

13.06.2010, 13:29

Es gibt verschiedene Anwendungsgebiete von Eigenvektoren. Allerdings sind die nicht einfach zu erklären. Google benutzt die z.B auch für die Suche.

Aber die Haupteigenschaft eines Eigenvektors ist der, dass er die Richtung nicht ändert, wenn man die Matrix von der sie gewonnen ist als Abbildung des Vektors benutzt. Er wird lediglich gestreckt oder gestaucht um den Faktor (rat mal) des zum Eigenvektor gehörendem Eigenwert.

Also: §Matrix*Eigenvektor = Eigenvektor*Eigenwert§

Das steht aber so ziemlich genau auf Wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem
Ein paar Beispiele hat es auch noch:
http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertpr…ische_Beispiele

//EDIT
Nice dass ihr im LK bereits das Eigenwertproblem habt! (Vor dem Studium habe ich offiziell nicht einmal Matrizen gehabt.. :lol: )
http://www.drakon.ch | Weltweit 31. Bester Solitär Spieler (Standard XP)

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »drakon« (13.06.2010, 13:35)

rewb0rn

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3

13.06.2010, 13:34

Habe das gleiche Problem wie du SD, mir ist der immer mal wieder im Studium begegnet und habe ein paar mal damit gerechnet, aber ich habe keinen wirklichen Bezug dazu und kann mir nix darunter vorstellen...

hanse

Alter Hase

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4

13.06.2010, 14:37

Sollte ich mal bei gelegenheit auch richtig lernen, dh. kann ich nur sagen was ich mir aus der Vorlesung behalten habe:
Du kannst damit z.B. die Jordansche Normalform berechnen und damit bestimmen ob zwei Matrizen ähnlich sind.
Also zwei Matrizen (A,B) sind ähnliche wenn: §\exists P\,:\,P^T*A*P=B§ und es gibt eben so ein P genau dann wenn zwei Matrizen die selbe Jordansche Normalform haben.

dot

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5

13.06.2010, 15:10

Genau, die Eigenvektoren einer Matrix sind genau jene Vektoren die bei Multiplikation mit dieser Matrix nur ihren Betrag aber nicht ihre Richtung ändern und die Eigenwerte sind die zugehörigen Faktoren um die sich die Länge ändert. Ein intuitives Beispiel wäre z.B. eine Rotationsmatrix: Welcher Vektor wird bei Multiplikation mit einer Rotationsmatrix weder in seiner Länge noch in seiner Richtung verändert? Genau, jener Vektor der in Richtung der Rotationsachse zeig. Der Eigenvektor einer Rotationsmatrix zum Eigenwert 1 (Länge bleibt gleich) zeigt also in Richtung der Rotationsachse.
m4studios

SilentDragon

Alter Hase

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6

13.06.2010, 15:38

vielen Dank euch allen habs jetzt verstanden :D (vor allem das Beispiel mit der Rotationsmatrix fand ich gut, kann man sich prima vorstellen ^^)
...

Task-Manager

Alter Hase

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7

13.06.2010, 16:28

nice endlich gecheckt^^ (bin mit SD im LK)

gehört diesmal glaub ich zum Lehrplan nur ich find das bissel krass für die 12 (sind jetzt schon mit dem 2ten Mathe-Buch durch in der 12-.-)
falls ichs i-wo vergessen hab:

mfg
Task-Manager

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hanse

Alter Hase

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8

13.06.2010, 16:42

unser Prof hat gemeint das gehört zu den schwierigeren Themen in der Linearen Algebra

drakon

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9

13.06.2010, 16:47

Kam bei uns auch ganz am Ende der Vorlesung dran und die Prüfung wird sehr viel davon enthalten (zusammen mit Singulärwertzerlegung).
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Mastermind

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10

13.06.2010, 17:07

Ich glaube ein "Denk-Bug" den 3d Programmierer haben, ist dass sie für alles was mit Linearer Algebra zu tun hat immer eine geometrische Anschauung wollen.

Die Vorzeichen der Eigenwerte werden z.B. in der Definition von Definitheit verwendet. Anhand der Definitheit der Hessematrix an kritischen Punkten kannst du unterscheiden ob du ein Minimum oder ein Maximum vor dir hast. Das ist quasi der mehrdimensionale Fall dessen was du in der Schule vermutlich über eine Veränderliche machst (Vorzeichen der 2. Ableitung). Es ist wiederum ein "Didaktik-Bug", dass Algebra und Analysis in der Schule als quasi überschneidungsfrei gelehrt werden.


Singulärwertzerlegung (SVD) kann man z.B. brauchen wenn man eine Pseudo-Inverse berechnen will. Die wiederum sollte euch wieder gefallen, weil man sie in einer inversen Kinematik verwenden kann. Wer mal was interessantes machen will, kann ja mal versuchen SVD numerisch stabil mit floats zu implementieren. Die Theorie findet man im Netz.

Bei der bestimmung eines Fundamentalsystems (Lösung von DGL) spielen Eigenwerte auch ein Rolle.

Gibt sicher noch Milliarden Anwendungen mehr.

Naja und eines der schwierigeren Themen ist es meiner Meinung nach nicht. Ehrer eines der Grundlegenden. (Disclaimer: Obwohl ich auch kein Mathematiker bin)

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