Auch wenn es jetzt eigentlich zu spät ist, hab ich mich mal dran gemacht und einen Lösungsweg aufgeschrieben - für den Fall, dass es dich doch noch brennend interessiert, wie das gelöst werden kann.
Weil ich nicht weiß, wie fit du in solchen Sachen bist, hab ich mal nahezu jeden Schritt einzeln aufgeführt - also sieh das bitte nicht als Beleidigung deiner mathematischen Auffassungsgabe!
Ich habe leider keine "Spoil"- Tags gefunden, also solltest du nicht allzu genau die Code- Blöcke lesen, wenn du das Problem nochmal selber lösen möchtest...
Ich geb wohl keine Gewähr für den Rechenweg - war zwar immer ganz gut in Algebra, aber das letzte Mal hab ich die Regeln vor etwa 3 Jahren angewandt...
Naja, hier die Lösung:
Zunächst einmal musst du mindestens eine Variable aus der Geradengleichung eliminieren.
Damits später einfacher ist, töte ich b:
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Quellcode
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g(x) = mx + b (T(1|2) einsetzen)
<=> 2 = m + b
<=> b = 2 - m
=> g(x) = mx + 2 - m (oder wie Steef es geschrieben hat: g(x) = mx - m + 2)
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Diese Funktion wird jetzt mit der Parabelfunktion gleichgesetzt und nach x aufgelöst:
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Quellcode
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f(x) = g(x)
<=> -0,5 x² + 2 = mx + 2 - m | - 2
<=> -0,5 x² = mx - m | + 0,5 x²
<=> 0 = 0,5 x² + mx - m | * 2
<=> 0 = x² + 2mx - 2m | <quadr. Ergänzung>
<=> 0 = x² + 2mx + m² – m² – 2m | + m² + 2m
<=> m² + 2m = x² + 2mx + m² | <1. binom. Formel>
<=> m² + 2m = (x + m)² | <Wurzel ziehen>
=> - sqrt(m² + 2m) = x + m | - m
<=> - sqrt(m² + 2m) – m = x
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Theoretisch gibt es ja noch eine zweite Möglichkeit (das Ganze *(-1)), aber dieser Weg kann hier vernachlässigt werden!
Das ausgerechnete x wird jetzt in die Parabelfunktion eingesetzt und hier ein beliebiger Punkt ausgewählt, um f(x) zu ersetzen. Wiederum der Einfachheit halber habe ich den Punkt (0|2) ausgewählt (den Scheitel…). Anschließend hat man nämlich die Möglichkeit, nach m aufzulösen:
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Quellcode
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f(x) = -0,5(- sqrt(m² + 2m) - m)² + 2 | <Punkt einsetzen>
<=> 2 = -0,5(- sqrt(m² + 2m) - m)² + 2 | - 2 | * -0,5
<=> 0 = (- sqrt(m² + 2m) - m )² | <2. binom. Formel>
<=> 0 = (m² + 2m) + 2m * sqrt(m² + 2m) + m² | <zusammenfassen>
<=> 0 = 2m² + 2m + 2m * sqrt(m² + 2m) + m² | <2m ausklammern>
<=> 0 = 2m * (m + sqrt(m² + 2m) ) | : 2m
<=> 0 = m + sqrt(m² + 2m)
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Hier wird’s ein bisschen knifflig, aber das lässt sich einfach umgehen, indem man sagt, dass die Gleichung aufgeht, wenn m = 0 ist:
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Quellcode
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0 = m => 0 = sqrt(m² + 2m) | <quadrieren>
<=> 0 = m² + 2m | <quadr. Ergänzung>
<=> 1 = m² + 2m + 1 | <1. binom. Formel>
<=> 1 = (m + 1)² | <Wurzel ziehen>
=> 1 = m + 1 v -1 = m + 1 | -1
<=> 0 = m v -2 = m
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Damit hätten wir dann endlich die ersehnte Steigung und können sie zusammen mit dem Punkt in die Geradengleichung einsetzen:
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Quellcode
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g(x) = 0x + b ^ h(x) = -2x + b | <Punkt einsetzen>
<=> 2 = b ^ 2 = -2 * 1 + b | +2
<=> ~ ^ 4 = b
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Also hätten wir jetzt auch das letzte Element unserer Geradengleichungen:
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Quellcode
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g(x) = 2
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sowie
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Quellcode
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h(x) = -2x + 4
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@ Steef: du hast mich echt an meinen Fähigkeiten zweifeln lassen... in deinem Graphenbild hast du nämlich das Minuszeichen vor "0,5x²" vergessen; die Parabel ist also eigentlich nach unten geöffnet und die Tangentenfunktionen kommen dann erst so hin, wie sie als Lösung vorgeschlagen sind...
Brummbaer Ende
Zitat
ich wollt nur fragen wie das hier zustande kommt: g(x)=m*x-m+2
04.06.2024, 15:11
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