an meinen vermeintlichen Nobelpreis zu denken.
Für Mathematik, genau und im Buddhismus gibt es einen Gott...
Also du sagst für Fibonacci gelte:
§f\left(n\right)=\begin{cases}0&\text{wenn } n = 0\\1&\text{wenn } n = 1\\f\left(n-2\right)+f\left(n-1\right)&\text{wenn } n > 1\end{cases}=\begin{cases}f\left(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1\right)^2 + f\left(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-1\right)^2 & \text{wenn } n \mod 2 = 1 \\ f\left(\frac{n}{2}+1\right)^2 - f\left(\frac{n}{2}-1\right)^2 & \text{wenn } n \mod 2 = 0\end{cases}§.
Ok, schauen wir uns mal für
§n=0§ das ganze an:
§f\left(0\right)=0=f\left(1\right)^2-f\left(-1\right)§ oh nein, das ist nicht definiert...
Dann eben für
§n=1§:
§f\left(1\right)=1=f\left(1\right)^2+f\left(0\right)^2=1^2+0^2=1§, cool!
Jetzt für irgendein
§n>0,n\mod 2=0§:
§f\left(n-2\right)+f\left(n-1\right)=f\left(\frac{n}{2}+1\right)^2+f\left(\frac{n}{2}-1\right)§
Nehmen wir uns die absolute Formel
§f\left(n\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^n-\bar{\phi}^n\right)§ dazu nun zur Hilfe:
§\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^{n-2}-\bar{\phi}^{n-2}\right)+\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^{n-1}-\bar{\phi}^{n-1}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^{\frac{n}{2}+1}-\bar{\phi}^{\frac{n}{2}+1}\right)\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^{\frac{n}{2}-1}-\bar{\phi}^{\frac{n}{2}-1}\right)\right)^2=\cdots§ hach, jetzt hab ich keine Lust mehr.
Das erste Bild auf Wikipedia legt den Zusammenhang schon nahe:
https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-…nacciBlocks.svg
Danke LG
MfG
Check