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Wenn Du 4 Planeten willkürliche Koordinaten zuweist, wie groß ist dann die Chance, dass sie zu den Koordinaten des neuen Planeten passen und nicht z.B. 90° um den Ursprung rotiert sind? Oder 137.23543°? Nur weil diese willkürliche Festlegung von Dir die Entfernungen korrekt beinhaltet, gibt es noch immer unendlich viele mögliche Offsets und Rotationen.

Nochmal zum Anfang: Ich habe das so verstanden, dass er N Planeten hat und alle Abstände zwischen diesen. Dann kommen M neue Planeten mit bekannten Koordinaten hinzu und er will wieder Abstände berechnen. Ja? Nein? Denn wenn ja, geht das eben nicht. Siehe Beispiel:
Planet A und B haben den Abstand 5 zueinander. Planet C steht bei (15/15). Abstände von A zu C und von B zu C sind nicht bestimmbar, da es unendlich viele Möglichkeiten gibt.

Du brauchst in einem 3D-Raum zu jedem Stern mindestens 4 Abstände. Wie Tobiking schon sagte ergibt sich das durch die Schnittkugeln. Bei einem Abstand von n zu m könnte m irgendwo auf einer Kugel um n herum liegen. Mit zwei Distanzen von n und o zu m hast du um n und o jeweils eine Kugel und der Schnitt ergibt einen Kreis. Irgendwo auf diesem Kreis kann m also liegen. Mit drei Abständen n, o und p zu m ergeben sich aus den drei Kugeln zwei Schnittpunkte auf dem m liegen kann. Ein vierter identifiziert m dann eindeutig. Jeder zusätzliche Abstand reduziert also die Anzahl der Unbekannten des Gleichungssystems um 1. Wahlweise ist das System bei 5 oder mehr also überbestimmt und bei 3 oder weniger unterbestimmt.

Wie ich schon sagte, du brauchst die Koordinaten von mindestens 3 Sternen in diesem System. Allein mit Abständen ist da nichts zu machen. Wenn du die drei hast, lassen sich die Koordinaten aller Sterbe durch die Schnitte der Kugeln bestimmen. Und damit dann auch der Abstand von m zu r.
Hast Du n+3 Sterne, aber nur 3 mit Koordinaten und der Rest in Abständen, wird das ein sehr hässliches und großes lineares Gleichungssystem, dass es zu lösen gilt.

Du kannst dir natürlich Koordinaten aller Sterne berechnen, wenn du die Abstände zwischen ihnen weiß. Es ist wie mit einem Dreieck, wenn man die Länge der drei Seiten weiß, ist das Dreieck bis auf seine Lage im Raum komplett definiert. Die Koordinaten die du erhältst sind dann also Deckungsgleich mit den tatsächlichen, was aber alles ist, was du zur Navigation benötigst.

Du fängst also mit einem Stern an und setzt ihn auf einen beliebigen Punkt. Dann nimmst du den zweiten und setzt ihn irgendwo auf die Kugelfläche, die den passenden Abstand zum ersten repräsentiert. Den dritten und vierten kannst du auch noch frei setzen (wobei es beim vierten bereits nur 2 Möglichkeiten geben dürfte), ab da sollten alle Punkte eindeutig bestimmt sein, weil du immer mindestens 4 Entfernungen zu bekannten Koordinaten hast.

Ändert aber nichts daran, dass das in Bezug auf den neuen Punkt totaler Unfug ist. Siehe Beispiel:

Planet A und B haben den Abstand 5 zueinander. Planet C steht bei (15/15). Abstände von A zu C und von B zu C sind nicht bestimmbar, da es unendlich viele Möglichkeiten gibt.

Selbst wenn ich A festlege und mir ein passendes B suche, sind die Werte in Bezug auf C völlig unsinnig, da ich A und B mit Parallelverschiebung irgendwo hin platzieren kann und damit den Abstand zu C immer wieder ändere, ohne dass ich die Bedingung für A und B verletze.

Du suchst Dir einen Stern Y und lässt mit diesem zusammen mit O und X eine Ebene aufspannen. Tada, zweite Achse. Aber wie gesagt ist das ein total willkürliches Koordinatensystem in das man die bekannten Koordinaten eines Planeten Z nicht einfach mit aufnehmen kann, wenn nicht vorher schon die Abstände von Z zu anderen Planeten des Systems bekannt sind.

Sind denn für den neuen Stern jetzt eigentlich konkrete Koordinaten gegeben oder auch wieder nur Distanzen zu ein paar von den bereits vorhandenen Sternen? Das kam für mich nicht ganz klar rüber.

Im ersten Fall hat BlueCobold natürlich recht und das Problem ist nicht lösbar. Im zweiten Fall ist die Wahl des Koordinatensystems beliebig, wie ja auch schon diskutiert wurde. Wenn man das also nochmal kurz klarstellen könnte, wäre die Sache doch mal geklärt, so oder so.