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Anzahl Elemete im Kern einer Matrix

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newby

Treue Seele

  • »newby« ist der Autor dieses Themas

Beiträge: 235

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1

31.08.2015, 14:25

Anzahl Elemete im Kern einer Matrix

Guten Tag,

ich habe eine kurze Frage zu linearer Algebra:

Ich habe eine lineare Abbildung, gegeben durch eine 3x4Matrix, über dem endlichen Körper Z_q (q prim). Die drei Zeilen der Matrix sind linear unabhängig und somit ist rang(M) = 3. Nach Rangsatz folgt dim(kern(M)) = 4-3 = 1. Kann ich eine Aussage über die Anzahl Elemente im kern(M) treffen? Ich möchte behaupten, dass |kern(M)| = q ist, ist das korrekt?

Viele Grüße

newby

Toa

Alter Hase

Beiträge: 944

Beruf: Research associate

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2

31.08.2015, 15:30

Hi,

folgende Aussage kannst du treffen und sollte nicht schwer zu beweisen sein:

Seien n,m und q positive Ganzzahlen, sodass n <= m und A \in Z^{nxm}. Wenn q prim ist und die rows von
A liniear unabhängig in Z_q sind, dann sind die Anzahl der Elemente von Z_q^{m} die zu A gehören gegeben
gegeben durch q^{m-n}.

Jedenfalls habe ich das so in meiner Übung zur Vorlesung über Lattices beweisen müssen.

€Dit: Kern überlesen :D sry

Grüße Toa
"Das ist ein Minkovski Raum, manche Menschen nennen ihn auch Weltraum" Prof. Dr. Jürgen Wambach, Theoretische Physik, TU Darmstadt | Meine Homepage

Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von »Toa« (31.08.2015, 15:43)

LInsoDeTeh

Treue Seele

Beiträge: 372

Wohnort: Essen, Deutschland

Beruf: Team Lead Inhouse-Entwicklung

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3

02.09.2015, 16:22

Puh, ist lange her mit Mathematik...
Aber ist es nicht so, dass wenn dim(ker(M)) = 1, es einen Isomorphismus zwischen ker(M) und Z_q gibt und damit |ker(M)| = |Z_q| = q, da q endlich ist?

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