Ok, geben wir den ganzen Matrizen mal Namen. Du hast also:
§M=A-\lambda\cdot I§
Und du sollst beweisen, dass:
§\det M=\left(\lambda_{1}-\lambda\right)^{n_{1}}\ldots\left(\lambda_{k}-\lambda\right)^{n_{k}}§ mit
§\lambda_{1}\ldots\lambda_{k}§ als Eigenwerte von
§A§.
Ich denke, das meiste was du brauchst, wirst du hier finden:
https://de.wikipedia.org/wiki/Determinan…tisches_Polynom
So wie die Aufgabe aussieht, wird es auf eine handvoll Zeilen mathematischer Argumentation hinaus laufen, wirklich viel rechnen wird wohl nicht dabei sein. Ich hab es jetzt nur mal kurz überflogen, aber ich glaube es ist eine gute Idee, sich zu überlegen, wie denn die Eigenwerte von
§M§ aussehen, und dann zu gucken in wie weit das in diese Produktschreibweise passt. Die WP Artikel sagt ja schon, dass man die Determinante als Produkt von Eigenwertpotenzen schreiben kann, also wäre es gut, das was du zeigen sollst mit einer (vorher hergeleiteten) Formel für die Eigenwerte von
§M§ zu vergleichen. Mit etwas Glück bist du dann schon fertig.