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Hallo, ich habe ein kleines Problem und zwar geht es um Eigenwerte und Diagonalisierung von Matrizen.

Ich habe eine Matrix (oft 3*3 auch höher) von der ich das vielfache der Einheitsmatrix abziehe (lambda), dann erhalte ich folgendes

§ \begin{pmatrix} a_{1,1} - \lambda & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} - \lambda & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} - \lambda \end{pmatrix} §

Ich muss nun die Determinante dieser Matrix in Linearfaktoren zerfallen lassen. Also
§ (\lambda_1 - \lambda)^{n_1} \cdot (\lambda_2 - \lambda)^{n_2} \cdot \cdot\cdot\cdot \cdot (\lambda_k - \lambda)^{n_k} §

Dabei sind §\lambda_1 \cdot\cdot\cdot \lambda_k§ Nullstellen des Polynoms der Determinante

Meine Matrix hier gerade enthält keine einzige 0. Wenn ich die Regel von Sarrus anwende, oder den LaPlace'schen Entwicklungssatz, dann komme ich nicht auf Linearfaktoren sondern auf Summen.
Gibt es irgendeine effektive Technik um die Determinante als Linearfaktorzerfall zu bekommen?

Also ich kenn keine Eigenwerte oder so. Ich hab nur die Matrix und muss ihre Determinante in Form von Linearfaktoren angeben, um nacher eine Jordan'sche Normalform aufstellen zu können. (Wenn ich die Vielfachheiten habe).
Ich habe das mal mit einer 5*5 Matrix gemacht, da hab ich durch Zeilenumformungen eine Spalte geschaffen, wo nur ein Element verschieden 0 war und habe dann nach dieser Spalte entwickelt und glücklicherweise ist die Zeile auch immer so geblieben (alles nullen außer ein Element).

Hier hab ich das getan, aber da kommt nichts gutes raus, ich hab zwar das Polynom in ax³+bx²+cx+d - Form, aber um die Nullstellen zu bekommen benötige ich ja eine Polynomdivision, welche ich nicht verwenden will weil wir sie nicht behandelt haben.

Für meine Matrix habe ich einen Trick mir ausgedacht, der aber nicht immer funktionieren wird:
Ich habe das Polynom in Koeffizientenform:

§ -\lambda^{3} + 12\lambda^{2} - 45\lambda + 50 = 0 §

Die 50, also die "Reinzahl", entsteht aus der Linearfaktorform durch eine Multiplikation aller Zahlen (Wenn man alle 3 Faktoren auf einmal verrechnet). Bei den anderen Ausmultiplikationsschritten ist immer mindestens ein Lambda dabei.

Nun bedeutet das, dass die 50 aus 3 Zahlen zusammengesetzt ist (Produkt), die in den Linearfaktoren stehen (und gleichzeitig auch die Eigenwerte dann sind).
Die 1 kann ich durch Probe ausschließen, ebenso die 0. Als erstes fällt mir die Primfaktorzerlegung § 2 * 5 * 5 § ein und siehe da, 5 und 2 sind Nullstellen. Weitere kann es nicht geben.

Daher habe ich die Eigenwerte § \lambda_1 = 2 § mit der alg. Vielfachheit 1 und § \lambda_2 = 5 §

Ich weiß nicht ob das immer funktioniert über Teilerzerlegung.

Genau, aber das sollte in Linearfaktoren zerfallen, bloß wenn ich hier die gängigen Determinanten-Rechnungen anwende, habe ich auch noch Summen und damit kann ich nur schwer Nullstellen bestimmen.
Und ich soll es nicht beweisen, sondern ich soll einfach die Nullstellen(Eigenwerte) finden, und ihre Vielfachheit.

Allgemein, muss ich so eine Aufgabenstellung rechnen können.