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Er kann auch erst einen zufälligen Winkel erstellen, dann ermitteln wie weit der Bildschirmrand in diese Richtung entfernt ist (sagen wir mal A Pixel weit web) und dann ermittelt er einen zufälligen Radius zwischen 100 und A (sofern A größer oder gleich 100 ist - wenn nicht kommen natürlich wieder weitere Probleme hinzu).

Benutz doch einfach die verdammte Wurzelfunktion. Du kannst vielleicht 100 Millionen davon pro Sekunde auf einem aktuellen CPU-Kern ausführen. Da vermute ich eher, dass Du irgendwo in Deinem Code einen unbedachten Zuweisungsoperator oder sowas drin hast, der das Zehnfache der Rechenzeit auffrisst. Also: Verhältnismäßigkeiten beachten! Ergebnisse sind wichtiger als Performance.

Es geht doch überhaupt nicht mehr um die Wurzelfunktion sondern um das nächste Problem
Naja um das Problem zu verhindern welches BlueCobold beschreibt sagte ich ja vorher ermitteln welche Richtungen möglich sind.

Am einfachsten wäre es vermutlich, eine zufällige Position auf dem Bildschirm zu Würfel (also X und Y Position), und dann, falls die Position zu Nahe am Spieler ist einfach neu zu würfeln. Dabei aht man bei einem guten Zufallsgenerator sogar eine sehr schön gleichmäßige Verteilung der Positionen.
Natürlich könnte man jetzt mehrmals würfeln müssen. Aber wenn der Spieler relativ klein ist, hat man eine Wahrscheinlichkeit von vielleicht 95% dass man nicht neu Würfeln muss. Und selbst wenn man 10 mal würfeln müsste, würde man das von der Geschwindigkeit noch lange nicht merken.
Man könnte natürlich auch die gewürfelte Position so anpassen, dass sie weit genug weg ist, dann muss man aber wieder auf den Rand achten und es wird etwas kniffeliger. Aber bedenke für die Zukunft, wenn nicht fast alle Positionen passen, brauchst du potentiell natürlich schon ein paar Durchläufe.

Alternative ginge das hier auch zum berechnen der Wurzel.

Nur mal rein prinzipiell: Wo liegt das Problem eine Wurzel zu verwenden? Du meinst du nicht im ernst dass zufällig Punkte generieren und warten bis ein passender daherkommt schneller ist als eine Wurzel zu ziehen!? Ich würds so machen wie BlueCobold beschrieben hat, nämlich eine zufällige Richtung und einen zufälligen Radius generieren und daraus den Punkt ausrechnen.