Hallo Master Chief,
um den Abstand zwischen zwei (windschiefen) Geraden zu ermitteln kannst du wie folgt vorgehen:
- Du berechnest einen gemeinsamen Normalen-Einheitsvektor (also senkrecht zu beiden Geraden + Länge 1). Dabei gilt (wegen "senkrecht") das das Skalarprodukt zwischen dem gesuchten Vektor und den beiden Richtungsvektoren der Geraden gleich null ist. Es ergeben sich zwei Gleichungen mit drei (zumindest im dreidimensionalen Raum) Unbekannten, nämlich den Komponenten des gesuchten Vektors. Du kannst einen Wert beliebig wählen (denn die Länge des Vektors ist egal, er wird später eh normalisiert - also auf die Länge 1 gebracht) und die anderen beiden berechnen.
- Jetzt den Normalen-Vektor auf die Länge 1 bringen. (Pythagoras)
- Jetzt kannst du mit folgender Formel arbeiten, wobei d der gesuchte Abstand ist, q und p zwei Ortsvektoren zu je einem Punkt pro Grade und der Vektor n der berechnete Normalen-Einheitsvektor ist: §d= \left| [ \vec q - \vec p ] * \vec n \right| §
Hier für's bessere Verständnis noch eine Beispielaufgabe:
Die folgenden Geraden sind gegebn:
§g: \vec x = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}
§
§
h: \vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}
§
Man berechnet den gemeinsamen Normalen-Vektor (Skalarprodukt ist gleich null, da senkrecht):
§4n_{1} + 1n_{2} - 6n_{3} = 0§
§0n_{1} - 1n_{2} + 3n_{3} = 0§
Man wählt z.B.
§n_{3} = 4§ und erhält
§n_{1} = 3§ und
§n_{2} = 12§.
Der Vektor wird normalisiert (Länge 1):
§\left| \vec n \right| = sqrt{3^{2} + 12^{2} + 4^{2}} = 13§
Somit teilt man die Vektor durch seine Länge um ihn wirklich einen Einheitsvektor zu bekommen:
§\vec n_{0} = \frac {1}{13} \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ 4 \end{pmatrix} §
Jetzt wird in die Formel eingesetzt und man ist fertig:
§d = \left| [ \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} ] * \frac {1}{13} \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ 4 \end{pmatrix} \right| = \frac {10}{13}§
Die Beispielaufgabe stammt aus "Lambacher Schweizer - Analytische Geometrie mit linearer Algebra".
Hoffe das hilft dir weiter?
Gruß
SaRu_