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Wie Jonathan_Klein schon gesagt hat
§\mathbf{x}(t) = \mathbf{p} + t \cdot \mathbf{d}§
beschreibt eine Gerade genau wie
§\mathbf{x}(t) = (1- t) \cdot \mathbf{p}_0 + t \cdot \mathbf{p}_1§
eine Gerade beschreibt genauso wie die Gleichung
§a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z + d = 0§
eine Gerade beschreibt.

"Probleme das in Code umzusetzen" ist leider eine zu unspezifische Aussage als dass mir darauf eine hilfreiche Antwort einfallen würde...

Du sagst es ja doch schon mehr oder weniger die ganze Zeit selbst. Der Punkt ist genau das: Ein Strahl bzw. eine Strecke sind einfach nur ein Teil einer Geraden. D.h. du berechnest einfach mal den kürzesten Abstand der beiden Geraden auf denen der Strahl bzw. die Strecke liegen. Wenn die entsprechenden Punkte kürzesten Abstands im Bereich des Strahls und der Strecke liegen dann bist du auch schon wieder fertig. Wenn nicht musst du dir überlegen was du tust (bzw. ob du noch was tun musst). Der vorhin von mir verlinkte Artikel enthält einen ganzen Abschnitt der sich mit haargenau dieser Sache beschäftigt (zur Info: Segment = engl. Strecke, Geradensegmentt; Ray = engl. Strahl). Vielleicht solltest du ihn doch mal ganz lesen!?

Master Chief hat einen Strahl (eine Gerade, die in eine Richtung beschränkt ist) und eine Strecke (eine Gerade, die nur zwischen zwei Punkten existiert). Da ist sein Problem, schätze ich.
Es ist allerdings keins, das versteht er nur nicht.

Ich hab dir mal ein Bild gemalt, vielleicht hilft dir das

Gratuliere dazu dass du die Geduld hattest und es selbst geschafft hast.