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Allgemein: Was passiert bei einer Invertierung und anschließender Transponierung einer Matrix... Also ich mein, was wird dann aus jener?

die inverse transponierte

angenommen wir haben eine (nicht unbedingt orthogonale) transformationsmatrix M.
der seitenvektor v eines dreiecks als differenz zweier dreieckspunkte kann mit der matrix M korrekt transformiert werden.
der normalvektor n des dreiecks jedoch nicht (stell dir vor die matrix würde z.b. entlang der y achse skalieren, der normalvektor steht dann nicht mehr wirklich normal).

wir wissen aber, dass das punktprodukt von seiten und normalvektor 0 sein muss. also n dot v = 0.
wir wollen nun eine matrix A finden, so dass gilt

(A*n) dot (M*v) = 0

betrachten wir die vektoren als 3x1 matrizen, so kann man das punktprodukt ja auch schreiben als (^ steht für transponiert)

n^ * v

damit gilt:

(A*n)^ * (M*v) = 0

das ist gleichbedeutend mit

n^ * A^ * M * v = 0

da n^ * v = 0, ist die gleichung erfüllt wenn A^ * M = I
und dies gilt eben genau dann, wenn A die inverse transponierte von M ist.

eine matrix gilt als orthogonal, wenn die inverse gleich der transponierten ist, und da jede rotationsmatrix orthogonal ist, kann man normalvektoren mit rotationsmatrizen immer direkt transformieren.

merke: ich hab oben verwendet was man oft als "operatorschreibweise" bezeichnet, also vektoren werden als 3x1 matrix dargestellt und mit einer matrix M transformiert indem man matrix * vektor rechnet.
das is die variante die z.b. opengl verwendet. directx machts umgekehrt.
dort sind vektoren 1x3 matrizen und man rechnet vektor * matrix.
ist eine frage von geschmack/konvention, ändert aber am ergebnis nichts:

n dot v = n * v^

(n*A) * (v*M)^ = 0
n * A * M^ * v^ = 0
...

ich hoffe ein wenig licht ins dunkel gebracht zu haben

Zitat von »"dot"«

ist eine frage von geschmack/konvention, ändert aber am ergebnis nichts:

n dot v = n * v^

n dot v = n^ * v
nicht umgekehrt..
dieses Gesetz bleibt erhalten. Sonst hättest du eine n x n - Matrix.

Ach ja.. Danke für deine fixe Antwort

Zitat von »"Brainsmith"«

Ach ja.. Danke für deine fixe Antwort

Haben die Totengräber wieder zugeschlagen? :roll:

Zitat von »"Brainsmith"«

n dot v = n^ * v
nicht umgekehrt..
dieses Gesetz bleibt erhalten. Sonst hättest du eine n x n - Matrix.

nope n * v^ stimmt schon.
n und v sind Zeilenvektoren sonst würde v * M gar nicht funktionieren

Zitat von »"the[V«

oid"]

Zitat von »"Brainsmith"«

Ach ja.. Danke für deine fixe Antwort

Haben die Totengräber wieder zugeschlagen? :roll:

Das bezog sich auf das: https://www.spieleprogrammierer.de/phpBB2/viewtopic.php?p=155671&highlight=#155671

Zitat

Ach ja.. Danke für deine fixe Antwort

Nach 4 Jahren :lol: [/quote][/code]

Eine Sache noch:

Zitat von »"dot"«

n^ * A^ * M * v = 0

da n^ * v = 0, ist die gleichung erfüllt wenn A^ * M = I
und dies gilt eben genau dann, wenn A die inverse transponierte von M ist.

muss nicht sein, auch wenns sonst ein chaos mit der Orientierung gibt..
A^ * M darf auch -Id sein.. also kein "genau dann wenn", sondern nur "wenn"
genau dann wenn <=> Äquivalenz
wenn <=> Implikation

Das mit der fixen Antwort war auf einen Post in einem anderen thread bezogen.. Aber aus deiner Sicht sicher lustig... ich kugel mich hier immernoch

@dot:
mit den Zeilenvektoren geb ich dir recht.. macht sonst wirklich keinen sinn. Gewohnheit hat mich kirre gemacht..