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Halt... du kennst die Formel für x und y

Es scheint, dass du (in der Schule) noch keine Ableitungen hattest?

x' und y' geben die Steigung an einem Punkt eines Kreises bei dem Winkel a(lpha) an...

Ist noch etwas schwierig zu verstehen ohne Ableitungen, ansonsten: Produktregel

mfg CBenni::O

Mit deiner unteren Formel hast du an sich vollkommen recht. Jetzt geht es nur drum, einen Punkt im Raum um einen bestimmten Winkel um den Ursprung zu drehen. Dabei ist die ursprüngliche y-Koordinate für die neue x-Koordinate durchaus von belang.

Moment ich veröffentliche mal meine Facharbeit
Da ist das etwas ausführlicher erklärt und geht auch von deiner unteren Formel aus. Vielleicht hilft dir das weiter. Hatte ich ohnehin vor. Da ich sie vor etwa einem Monat korrigiert zurückgekriegt habe, sollte ich jetzt normalerweise auch keine Probleme bekommen.

@ CBenni::O
Inwieweit das jetzt mit Ableitungen zu tun hat verstehe ich nicht ganz ehrlich gesagt.

EDIT: Sodala. Das Hochladen hat nur eine Weile gedauert. Hier - im pdf auf Seite 9 unter "Rotationsmatrix"

Vielleicht ist der Ansatz von Wikipedia verständlicher: http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix

Es geht darum das x schon um Winkel a gedreht worden ist. Was nun gesucht ist, ist die Formel um dieses x um den Winkel b weiter zu drehen. Damit kommt man bei deiner bekannten Formel auf x' = cos(a+b) und das weitere steht in Wikipedia.

Zitat von »Wümpftlbrümpftl«

@ CBenni::O
Inwieweit das jetzt mit Ableitungen zu tun hat verstehe ich nicht ganz ehrlich gesagt.

Mist... das sah so dermaßen nach Produkten, abgeleitet aus... Vermutlich kommt der Ansatz daher...

mfg CBenni::O

Oh sry, wenn ich das für dich noch komplizierter gemacht hat. Ist eine etwas andere Herangehensweise, die sich an dem bei mir in der Schule bekannten Stoff orientiert.

Die gewöhnlichen Koordinaten die man verwendet heißen "kartesische Koordinaten". Also ganz normal mit X und Y im gewohnten Koordinatensystem.
Daneben gibt es aber auch noch sog. Polarkoordinaten. Bei Polarkoordinaten hat man nicht X und Y, sondern einen Radius und einen Winkel - in der Arbeit habe ich den Radius r genannt und den Winkel Phi. So ein Koordinatensystem sieht dann so aus:

Wie du siehst lässt sich mit einem Winkel und einen Abstand von Nullpunkt hier jeder Punkt ausdrücken.
Möchte man dort einen Punkt drehen, verändert man einfach den Winkel - das wird in meiner Arbeit einfach mal gemacht. Du siehst, in Polarkoordinaten ist die Drehung extrem leicht. Da ich erstmals die Drehung um die Z-Achse betrachte, brauche ich mich auch nur um X und Y zu kümmern.. was auch immer Z ist, es wird sich durch die Drehung nicht verändern.

Mit der zweiten Formel aus deinem Post lässt sich das ganze zurück in kartesische Koordinaten rechnen. Das hab ich dann auch gemacht mit einer Drehung um den Winkel Alpha (siehe erster Formelblock in dem Kapitel)

An dieser Stelle kommen dann die sogenannten Additionstheoreme zur Anwendung. Deren genauer Hergang hängt mit der Definition von Sinus und Kosinus zusammen.
Joa und der letzte Schritt ist, dass man mithilfe der anfänglichen Gleichungen die entstandene längere Formel wieder vereinfacht und somit gleichzeitig das ursprüngliche x und y reinbringt.
Das ganze geht für alle Achsen praktisch gleich. Nur Benennungen verändern sich.

Das mit dem R3 heißt 3 Dimensionen wie du richtig erkannt ist. Ich musste solchen mathematischen Defintionsfirelefanz leider immer mit hinschreiben, nicht verwirren lassen

Das Prinzip ist, dass wir so tun, als würden wir unsere zu drehenden Koordinaten erstmals in Polarkoordinaten umrechnen - dabei lassen wir das Z weg, da sich das ja nicht verändern wird. Da kriegt man dann für jede Position ein Phi (das Phi hat also noch nichts mit der Drehung zu tun) und ein r.

Wir wissen also, dass für x gilt: x = r * cos Phi
für y analog dazu: y = r* sin Phi
Würden wir das auflösen, hätten wir eine Polarkoordinate (r | Phi)
Der Witz ist natürlich, dass wir uns jetzt nicht die Mühe machen r und Phi auszurechnen - das Ganze wird ja jetzt einfach allgemein betrachtet.

Um den Punkt nun um Alpha zu drehen, muss man wenn mans ich das Polarkoordinatensystem so betrachtet einfach nur den Winkel (Phi) mit der gewünschten Drehung addieren.

Da wir aber ja am Schluss kartesische Koordinaten haben wollen, schreiben wir das einfach in unsere Umrechnungsformel oben rein
x' = r * cos (Phi + Alpha)
y' = r* sin (Phi + Alpha)
Das was folgt sind "Vereinfachungen" bei denen dann r und Phi wieder wegfällt.


Das mit den Polarkoordinaten an sich ist nur eine Denkstütze. Tatsächlich stellt man ja nie wirklich einen Punkt (Radius | Winkel) auf.
Vielmehr wird die Umrechnung der beiden Koordinatentypen gegenübergestellt. Was man da macht ist dass man sich die Umrechnung einfach mal hinschreibt und dann davon ausgehend den Polarkoordinatenwinkel ändert und die Konsequenzen verfolgt.

Hm weiß leider auch nicht wie ichs besser erklären kann..