2D-Kollisionserkennung
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Wenn man nun die zwei Geraden mithilfe dieser Formel beschreibt und sie gleichsetzt (<math>P_a = P_b</math>), bekommt man folgende Gleichungen für <math>x</math> und <math>y</math> der Punkte <math>P_a</math> und <math>P_b</math>: | Wenn man nun die zwei Geraden mithilfe dieser Formel beschreibt und sie gleichsetzt (<math>P_a = P_b</math>), bekommt man folgende Gleichungen für <math>x</math> und <math>y</math> der Punkte <math>P_a</math> und <math>P_b</math>: | ||
| − | : <math> | + | : <math>\begin{align} x_{A_1} + u_a(x_{A_2} - x_{A_1}) & = x_{B_1} + u_b(x_{B_2} - x_{B_1}) \\ y_{A_1} + u_a(y_{A_2} - y_{A_1}) & = y_{B_1} + u_b(y_{B_2} - y_{B_1}) \end{align} </math> |
| − | \begin{align} | + | |
| − | x_{A_1} + u_a(x_{A_2} - x_{A_1}) & = x_{B_1} + u_b(x_{B_2} - x_{B_1}) \\ | + | |
| − | y_{A_1} + u_a(y_{A_2} - y_{A_1}) & = y_{B_1} + u_b(y_{B_2} - y_{B_1}) | + | |
| − | \end{align} | + | |
| − | </math> | + | |
Diese Gleichungen werden nun nach <math>u_a</math> und <math>u_b</math> aufgelöst: | Diese Gleichungen werden nun nach <math>u_a</math> und <math>u_b</math> aufgelöst: | ||
| − | : <math> | + | : <math>\begin{align} u_a & = \frac{(x_{B_2} - x_{B_1})(y_{A_1} - y_{B_1}) - (y_{B_2} - y_{B_1})(x_{A_1} - x_{B_1})}{(y_{B_2} - y_{B_1})(x_{A_2} - x_{A_1})-(x_{B_2} - x_{B_1})(y_{A_2} - y_{A_1})} \\ u_b & = \frac{(x_{A_2} - x_{A_1})(y_{A_1} - y_{B_1}) - (y_{A_2} - y_{A_1})(x_{A_1} - x_{B_1})}{(y_{B_2} - y_{B_1})(x_{A_2} - x_{A_1})-(x_{B_2} - x_{B_1})(y_{A_2} - y_{A_1})} \end{align}</math> |
| − | \begin{align} | + | |
| − | u_a & = \frac{(x_{B_2} - x_{B_1})(y_{A_1} - y_{B_1}) - (y_{B_2} - y_{B_1})(x_{A_1} - x_{B_1})}{(y_{B_2} - y_{B_1})(x_{A_2} - x_{A_1})-(x_{B_2} - x_{B_1})(y_{A_2} - y_{A_1})} \\ | + | |
| − | u_b & = \frac{(x_{A_2} - x_{A_1})(y_{A_1} - y_{B_1}) - (y_{A_2} - y_{A_1})(x_{A_1} - x_{B_1})}{(y_{B_2} - y_{B_1})(x_{A_2} - x_{A_1})-(x_{B_2} - x_{B_1})(y_{A_2} - y_{A_1})} | + | |
| − | \end{align} | + | |
| − | </math> | + | |
Man beachte nun die Nenner der beiden Gleichungen, denn sie sind identisch. Wenn nun der Nenner gleich Null ist, so sind <math>u_a</math> und <math>u_b</math> undefiniert, also sind die beiden Geraden parallel zueinander. Wenn die Geraden dann nicht identisch sind, liegt keine Kollision vor. Der Einfachheit halber ignorieren wir den Fall der identischen Geraden und geben "''keine Kollision''" aus. Beim Rechnen mit Fließkommazahlen muss beachtet werden, dass ein Vergleich mit Null auf Grund von Rechenungenauigkeiten nicht empfehlenswert ist. Darum sollte ein kleiner Grenzwert ε (im Code als Konstante <code>EPSILON</code> dargestellt) gewählt werden, unterhalb dessen die Geraden als parallel angenommen werden. Ein möglicher Wert wäre z.B. <math>10^{-8}</math>. | Man beachte nun die Nenner der beiden Gleichungen, denn sie sind identisch. Wenn nun der Nenner gleich Null ist, so sind <math>u_a</math> und <math>u_b</math> undefiniert, also sind die beiden Geraden parallel zueinander. Wenn die Geraden dann nicht identisch sind, liegt keine Kollision vor. Der Einfachheit halber ignorieren wir den Fall der identischen Geraden und geben "''keine Kollision''" aus. Beim Rechnen mit Fließkommazahlen muss beachtet werden, dass ein Vergleich mit Null auf Grund von Rechenungenauigkeiten nicht empfehlenswert ist. Darum sollte ein kleiner Grenzwert ε (im Code als Konstante <code>EPSILON</code> dargestellt) gewählt werden, unterhalb dessen die Geraden als parallel angenommen werden. Ein möglicher Wert wäre z.B. <math>10^{-8}</math>. | ||
Version vom 28. September 2017, 23:23 Uhr
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