2D-Kollisionserkennung
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Nun setzen wir <math>\vec x(t)</math> in die Kreisgleichung ein. Wir bringen die Gleichung in die richtige Form für die [http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#p-q-Formel p-q-Formel], so dass wir nach <math>t</math> auflösen können: | Nun setzen wir <math>\vec x(t)</math> in die Kreisgleichung ein. Wir bringen die Gleichung in die richtige Form für die [http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#p-q-Formel p-q-Formel], so dass wir nach <math>t</math> auflösen können: | ||
| − | : <math>\begin{align} | + | : <math>\begin{align} \left( {\vec x}(t) - \vec c \right) ^2 &= r^2 \\ \left( (\vec o + t \cdot \vec d) - \vec c \right)^2 &= r^2 \\ (\vec o + t \cdot \vec d)^2 - 2 \cdot (\vec o + t \cdot \vec d) \cdot \vec c + {\vec c}^2 &= r^2 \\ {\vec o}^2 + 2t \cdot \vec o \cdot \vec d + t^2 \cdot {\vec d}^2 - 2 \cdot \vec o \cdot \vec c - 2t \cdot \vec d \cdot \vec c + {\vec c}^2 &= r^2 \\ t^2 {\vec d}^2 + t (2 \cdot \vec o \cdot \vec d - 2 \cdot \vec d \cdot \vec c) + {\vec o}^2 - 2 \cdot \vec o \cdot \vec c + {\vec c}^2 - r^2 &= 0 \\ t^2 {\vec d}^2 + t (2 \cdot \vec o \cdot \vec d - 2 \cdot \vec d \cdot \vec c) + (\vec o - \vec c)^2 - r^2 &= 0 \\ t^2 + t \left( \frac{2 \cdot \vec o \cdot \vec d - 2 \cdot \vec d \cdot \vec c}{{\vec d}^2} \right) + \frac{(\vec o - \vec c)^2 - r^2}{{\vec d}^2} &= 0 \end{align}</math> |
| − | \left( {\vec x}(t) - \vec c \right) ^2 &= r^2 \\ | + | |
| − | \left( (\vec o + t \cdot \vec d) - \vec c \right)^2 &= r^2 \\ | + | |
| − | (\vec o + t \cdot \vec d)^2 - 2 \cdot (\vec o + t \cdot \vec d) \cdot \vec c + {\vec c}^2 &= r^2 \\ | + | |
| − | {\vec o}^2 + 2t \cdot \vec o \cdot \vec d + t^2 \cdot {\vec d}^2 - 2 \cdot \vec o \cdot \vec c - 2t \cdot \vec d \cdot \vec c + {\vec c}^2 &= r^2 \\ | + | |
| − | t^2 {\vec d}^2 + t (2 \cdot \vec o \cdot \vec d - 2 \cdot \vec d \cdot \vec c) + {\vec o}^2 - 2 \cdot \vec o \cdot \vec c + {\vec c}^2 - r^2 &= 0 \\ | + | |
| − | t^2 {\vec d}^2 + t (2 \cdot \vec o \cdot \vec d - 2 \cdot \vec d \cdot \vec c) + (\vec o - \vec c)^2 - r^2 &= 0 \\ | + | |
| − | t^2 + t \left( \frac{2 \cdot \vec o \cdot \vec d - 2 \cdot \vec d \cdot \vec c}{{\vec d}^2} \right) + \frac{(\vec o - \vec c)^2 - r^2}{{\vec d}^2} &= 0 | + | |
| − | \end{align}</math> | + | |
Durch Anwendung der p-q-Formel erhalten wir zwei Lösungen für <math>t</math>: | Durch Anwendung der p-q-Formel erhalten wir zwei Lösungen für <math>t</math>: | ||
| − | : <math>\begin{align} | + | : <math>\begin{align} t_1 &= \frac{\vec d \cdot \vec c - \vec o \cdot \vec d}{{\vec d}^2} - \sqrt{ \left( \frac{\vec d \cdot \vec c - \vec o \cdot \vec d}{{\vec d}^2} \right) ^2 - \frac{(\vec o - \vec c)^2 - r^2}{{\vec d}^2}} \\ t_2 &= \frac{\vec d \cdot \vec c - \vec o \cdot \vec d}{{\vec d}^2} + \sqrt{ \left( \frac{\vec d \cdot \vec c - \vec o \cdot \vec d}{{\vec d}^2} \right) ^2 - \frac{(\vec o - \vec c)^2 - r^2}{{\vec d}^2}} \end{align}</math> |
| − | t_1 &= \frac{\vec d \cdot \vec c - \vec o \cdot \vec d}{{\vec d}^2} - \sqrt{ \left( \frac{\vec d \cdot \vec c - \vec o \cdot \vec d}{{\vec d}^2} \right) ^2 - \frac{(\vec o - \vec c)^2 - r^2}{{\vec d}^2}} \\ | + | |
| − | t_2 &= \frac{\vec d \cdot \vec c - \vec o \cdot \vec d}{{\vec d}^2} + \sqrt{ \left( \frac{\vec d \cdot \vec c - \vec o \cdot \vec d}{{\vec d}^2} \right) ^2 - \frac{(\vec o - \vec c)^2 - r^2}{{\vec d}^2}} | + | |
| − | \end{align}</math> | + | |
Wenn der Richtungsvektor <math>\vec d</math> der Geraden normiert ist (Länge 1 hat), dann kann die Division durch <math>{\vec d}^2</math> weggelassen werden, was eine etwas effizientere Implementierung ermöglicht. | Wenn der Richtungsvektor <math>\vec d</math> der Geraden normiert ist (Länge 1 hat), dann kann die Division durch <math>{\vec d}^2</math> weggelassen werden, was eine etwas effizientere Implementierung ermöglicht. | ||
Aktuelle Version vom 28. September 2017, 23:24 Uhr
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