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Ich habe arge Probleme, bei Funktionen Surjektivität zu beweisen/widerlegen. Injektivität ist eig. kein Thema.
Ich hab diese Funktion:
§ h: \Z \to \Z \times \Z §

h(z) = (z + 2, z - 1)

Ist h surjektiv?

Ich weiß, dass das wahrscheinlich recht simpel ist, aber ich würde mich über eine Lösung freuen.

Mein Versuch sah wie folgt aus:
§ w \in \Z §
w = (z + 2, z - 1)

I: w = z + 2
II: w = z - 1

Nach z umstellen:
I: z = w - 2
II: z = w + 1

Einsetzen in h(z):
w = (w - 2 + 2, w + 1 - 1)
w = (w, w)

-> Surjektiv.

Aber das wurde mir bereits zweimal als falsch betitelt. Da es keine allgemeine Lösung gibt und ich, wie gesagt, eher schwach in Surjektivitäts Beweisen bin, hoffe ich mal, das hier mir wer weiterhelfen kann.
Danke im voraus.

P.S.: Da ich es als unerfahrener nicht hinbekommen habe, die Funktionen Zeilenweise und lesbar eingerückt in Tex zu formatieren, hab ich das jetzt mal so gelassen, hoffe das ist ok.

Das kann doch nicht so einfach sein.
Da zwei verschiedene Werte für z rauskommen surjektiv... Das ist allgemein gültig nehme ich mal an?

Folgende Funktion:
Wieder §\Z \to \Z \times \Z§
f(v) = (v - 3, v + 2)
§w \in \Z \times \Z§
w = (3, 5)

3 = v - 3
5 = v + 2

->

6 = v
3 = v

Und fertig ist der Beweis, dass es nicht surjektiv ist?
Ich war der Auffassung, das v und in deinem Fall w eine Zahl sein muss und kein Tupel, und das wir diese Zahl in die Funktion h bzw f eingeben und 2 Zahlen als Tupel erhalten.
Lieg ich da so falsch?

Zitat von »dot«

Surjektiv bedeutet, dass jeder Wert der Zielmenge von der Funktion angenommen wird. Ich hab gezeigt dass das nicht so sein kann, denn um den Wert (1, 5) anzunehmen, müsste die Funktion zwei verschiedene Parameterwerte bekommen. q.e.d

Kann natürlich sein dass ich mich irre...

Hmm, zwei Fragen die sich mir da aber noch stellen:
1. Ist meine Beweistechnik in dem vorherigen Post dann auch korrekt?
2. Würde das nicht heißen, dass, sämtliche Funktionen der Form §\Z \to \Z \times \Z§ nicht surjektiv sind, da sie nur einen und nicht zwei Funktionswerte annehmen?

Zitat von »dot«

Zitat von »Architekt«

1. Ist meine Beweistechnik in dem vorherigen Post dann auch korrekt?

Ich kann dort jetzt mal keinen Unterschied zu meinem Beweis erkennen!?

Es ist deine Beweistechnik, selbes Prinzip, andere Funktion.
Mir erscheint das ganze nur etwas zu leicht...

Wenns passt bin ich zufrieden, bin es nicht gewöhnt es so einfach zu haben.
Vllt. findet ja aber noch jmd. den Fehler oder bestätigt das ganze, würde mich freuen.

edit: gut, im Grunde hast du Recht wenn ich das ganze mal Revue passieren lasse.
Du sagst du willst das Tupel (1, 5) und es gibt keine Möglichkeit mit der Funktion bzw. mit nur einem Funktionswert dieses Tupel hervorzubringen. Dot Ende aus.
Verdanke meiner langen Mathe Leitung dieses unheimliche Talent des schnellen verstehens.

Danke soweit.