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Letzter Schritt

§\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ne \frac{1}{a + b + c}§

§a k + b k + c k = 3d§
§\Leftrightarrow a + b + c = \frac{3d}{k}, k\not=0§
§\Leftrightarrow \frac{a + b + c}{3d} = \frac{1}{k},k\not=0,d\not=0§
§\Leftrightarrow k = \frac{3d}{a + b + c},d\not=0,a+b+c\not=0§

MfG
Check

Deine Gleichung ist:

§k \cdot (a + b + c) = 3 \cdot d.§

Wenn du mich fragst kann man die gesuchte Lösung da direkt ablesen...

Das so zu vereinfachen ist natürlich besser.
Trotzdem, falls das nicht weiter vereinfachbar gewesen wäre, könnte es man natürlich auch umformen.
Man darf den Bruch nur eben nicht so aufteilen und umdrehen.
§\frac{a}{d * 3} + \frac{b}{d * 3} + \frac{c}{d * 3} = \frac{1}{k}§
Beide Seiten mit f(x)=1/x zu transformieren ergibt:
§\frac{1}{\frac{a}{d * 3} + \frac{b}{d * 3} + \frac{c}{d * 3}} = \frac{1}{\frac{1}{k}}§
Auf der rechten Seite gleicht sich der Doppelbruch aus (nur deshalb ist die Umformung ja überhaupt sinnvoll), auf der linken jedoch nicht.
§\frac{1}{\frac{a}{d * 3} + \frac{b}{d * 3} + \frac{c}{d * 3}} = k§

Gegenbeispiel mit konkreten Zahlen:
§\frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}} = \frac{1}{\frac{6}{2}} = \frac{1}{3}§
Wenn man die Doppelbrüche umdreht, ändert sich das Ergebnis:
§\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \qquad \qquad (\ne \frac{1}{3}) §

Hin und wieder mal eine Pause einlegen und rausgehen erfrischt den Geist ungemein
Ist mir auch schon einige Male passiert.