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Überleg dir nochmal, was das neutrale Element der Multiplikation (nichts anderes ist ja die Potenz) ist.

Na, bei so kleinen Zahlen kannst du es ja sehr leicht ausprobieren. Du 'potenzierst' 5 mit verschiedenen Zahlen und schaust ob 0 ruas kommt.
Aber da wir wissen, dass die Ordnung ein Teiler von 36 sein muss, kann man es sich auch viel leichter machen:

36 = 6*6 = 2*2*3*3

Die Teiler sind alle Kombinationen der Primfaktoren, also: 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Da 5*6 schon nur 30 ist, können wir schlussfolgern, dass wenn überhaupt nur einer der 4 großen Teiler in Frage kommt. Also rechnen wir:

5^9 = 9
5^12 = 24
5^18 = 18
5^36 = 0

Damit ist die Ordnung also 0. Beachte bei der Rechnung, dass die Potenzen in Wirklichkeit Multiplikationen sind, und wir anschließend noch den Rest bilden.

Zitat von »birdfreeyahoo«

Es geht hier aber um die additive Gruppe, also die Menge mit dem +-Operator.

Du rechnest oben aber mit Potenzen. Für eine additive Gruppe, musst du multiplizieren. Allerdings ist die additive Ordnung in den allermeisten Fällen vollkommen uninteressant.
Es gilt: §Z/kZ \Rightarrow ord_{add}(x)=\frac{k}{gcd(x, k)}§


@Jonathan: Auch wenn du es unten dazuschreibst, ich würde nicht das Potenzzeichen benutzen.

Zitat von »Steef«

@Jonathan: Auch wenn du es unten dazuschreibst, ich würde nicht das Potenzzeichen benutzen.

Ich habe mich dazu entschieden, um die Abstraktion ein wenig zu schulen. Einfach damit man nicht denkt "bei dieser Aufgabe muss ich halt + rechnen", sondern damit man denkt "ich habe eine Gruppe mit Verknüpfungen zwischen den Elementen und für diese Operation gelten alle bekannten Potenzgesetze". Wobei es natürlich letztendlich egal ist, wie man es hinschreibt, solange man verstanden hat, was im Hintergrund passiert. Ist halt irgendwie so, wie wenn man beim Thema Normen eine Raute hinmalt und die dann Kreis nennt

Naja, im Grunde warst du nie "oben" weil es die klassische Potenz 5^5 = 3125 in deiner Gruppe nie gab. Du rechnest einfach nicht mehr mit (natürlichen/rationalen/reellen/...) Zahlen, sondern mit mehr oder weniger abstrakten Gruppen. Wenn du in deiner Gruppe schreibst "5^5" dann ist die erste 5 ein Element aus deiner Gruppe, die zweite 5 ist aber eine natürliche Zahl und hat mit keinem einzigen Element aus deiner Gruppe auch nur im entferntesten irgendetwas zu tun. Es ist essenziell, diesen Unterschied verstanden zu haben. Du kannst Matrizen potentieren (mit der Multiplikation als Operation), oder Strings (mit der Konkatenuation als Operation), aber du wirst nie eine Matrix oder einen String im Exponenten stehen haben. Die Potenzgesetze funktionieren für beliebige Gruppen mit beliebigen Elementen, aber die Exponenten sind immer nur natürliche Zahlen. Ok, später gibt es natürlich Verallgemeinerungen. Aber für den Anfang ist es einfach wichtig, eine gewisse "Typsicherheit" zu haben.

Deine Gruppenoperation ist also die Addition, 3^4 bedeutet dann also (in der additiven Gruppe jetzt, nicht in den natürlichen Zahlen oder so), dass du 4 mal die 3 addierst. Also 3+3+3+3. Das man stattdessen auch 3*4 schreiben kann, ist eher Glückssache, die dir hier das Leben einfacher macht, weil du so die Potenzen trivial berechnen kannst.

Und ja: (5 * 36) mod 36 ist trivial, die Schwierigkeit bei dieser Aufgabe besteht auch eher darin, die Begrifflichkeiten verstanden und die abstrakte Sichtweise auf Elemente und Operationen entwickelt zu haben. Danach solltest du also deinen Erfolg bei dieser Aufgabe bemessen, und nicht ob die die simple Rechnung am Ende schaffst, oder nicht