Du bist nicht angemeldet.

Werbeanzeige

birdfreeyahoo

Alter Hase

  • »birdfreeyahoo« ist der Autor dieses Themas

Beiträge: 764

Wohnort: Schorndorf

Beruf: Junior Software Engineer

  • Private Nachricht senden

1

25.01.2015, 01:03

Ordnung eines Elements einer additiven Gruppe

Hallo, ich habe ein kleines Problem:
Ich habe den Restklassenring Z/36Z. Davon die additive Gruppe, welche ja alle Elemente des Rings enthält, weil ein Ring per Definition bezüglich der Addition eine Gruppe ist.

So, nun soll ich die Ordnung des Elementes 5 herausfinden. Ich weiß (von Wikipedia), dass dieses Element sicher eine endliche Ordnung hat.
Ordnung eines Elementes a ist das kleinste n, so dass: a^n = e (neutrales Element)

Mein Element ist 5, das neutrale Element ist 0. 5 ^ n = 0, da wir einen Restklassenring haben, war meine Überlegung folgende:
5 ^ n kongruent 0 mod 36
Weil sobald ich 36 erreiche bin ich wieder bei 0, und diese endliche Gruppe ist ja zyklisch ( seh ich das ganze richtig ? )

Nun: Laut Wikipedia ist die Lösung ein Teiler von 36, aber ich hab schon alles versucht und kann leider keinen passenden Exponenten 5 (außer 0, was nicht zählt) finden.
Beispiel:
Für n = 1 erhalte ich eine Kongrunz zu 5 mod 36
Für n = 6 eine Kongruenz zu 1 mod 36
Für n = 36 eine Kongruenz zu 1 mod 36

Vielleicht kann mir jemand helfen.

mfg

2

25.01.2015, 01:39

Überleg dir nochmal, was das neutrale Element der Multiplikation (nichts anderes ist ja die Potenz) ist.
"Theory is when you know something, but it doesn’t work. Practice is when something works, but you don’t know why. Programmers combine theory and practice: Nothing works and they don’t know why." - Anon

birdfreeyahoo

Alter Hase

  • »birdfreeyahoo« ist der Autor dieses Themas

Beiträge: 764

Wohnort: Schorndorf

Beruf: Junior Software Engineer

  • Private Nachricht senden

3

25.01.2015, 12:39

Es geht hier aber um die additive Gruppe, also die Menge mit dem +-Operator.

4

25.01.2015, 13:23

Na, bei so kleinen Zahlen kannst du es ja sehr leicht ausprobieren. Du 'potenzierst' 5 mit verschiedenen Zahlen und schaust ob 0 ruas kommt.
Aber da wir wissen, dass die Ordnung ein Teiler von 36 sein muss, kann man es sich auch viel leichter machen:

36 = 6*6 = 2*2*3*3

Die Teiler sind alle Kombinationen der Primfaktoren, also: 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Da 5*6 schon nur 30 ist, können wir schlussfolgern, dass wenn überhaupt nur einer der 4 großen Teiler in Frage kommt. Also rechnen wir:

5^9 = 9
5^12 = 24
5^18 = 18
5^36 = 0

Damit ist die Ordnung also 0. Beachte bei der Rechnung, dass die Potenzen in Wirklichkeit Multiplikationen sind, und wir anschließend noch den Rest bilden.
Lieber dumm fragen, als dumm bleiben!

5

25.01.2015, 14:12

Es geht hier aber um die additive Gruppe, also die Menge mit dem +-Operator.

Du rechnest oben aber mit Potenzen. Für eine additive Gruppe, musst du multiplizieren. Allerdings ist die additive Ordnung in den allermeisten Fällen vollkommen uninteressant.
Es gilt: §Z/kZ \Rightarrow ord_{add}(x)=\frac{k}{gcd(x, k)}§


@Jonathan: Auch wenn du es unten dazuschreibst, ich würde nicht das Potenzzeichen benutzen.
"Theory is when you know something, but it doesn’t work. Practice is when something works, but you don’t know why. Programmers combine theory and practice: Nothing works and they don’t know why." - Anon

6

25.01.2015, 14:51

@Jonathan: Auch wenn du es unten dazuschreibst, ich würde nicht das Potenzzeichen benutzen.

Ich habe mich dazu entschieden, um die Abstraktion ein wenig zu schulen. Einfach damit man nicht denkt "bei dieser Aufgabe muss ich halt + rechnen", sondern damit man denkt "ich habe eine Gruppe mit Verknüpfungen zwischen den Elementen und für diese Operation gelten alle bekannten Potenzgesetze". Wobei es natürlich letztendlich egal ist, wie man es hinschreibt, solange man verstanden hat, was im Hintergrund passiert. Ist halt irgendwie so, wie wenn man beim Thema Normen eine Raute hinmalt und die dann Kreis nennt :D
Lieber dumm fragen, als dumm bleiben!

birdfreeyahoo

Alter Hase

  • »birdfreeyahoo« ist der Autor dieses Themas

Beiträge: 764

Wohnort: Schorndorf

Beruf: Junior Software Engineer

  • Private Nachricht senden

7

25.01.2015, 16:02

Oh, danke also ich muss bei einer additiven Gruppe dann entsprechend eine Stufe runter auf * gehen?
Weil (5 * 36) mod 36 ist ja trivial :D

8

25.01.2015, 23:31

Naja, im Grunde warst du nie "oben" weil es die klassische Potenz 5^5 = 3125 in deiner Gruppe nie gab. Du rechnest einfach nicht mehr mit (natürlichen/rationalen/reellen/...) Zahlen, sondern mit mehr oder weniger abstrakten Gruppen. Wenn du in deiner Gruppe schreibst "5^5" dann ist die erste 5 ein Element aus deiner Gruppe, die zweite 5 ist aber eine natürliche Zahl und hat mit keinem einzigen Element aus deiner Gruppe auch nur im entferntesten irgendetwas zu tun. Es ist essenziell, diesen Unterschied verstanden zu haben. Du kannst Matrizen potentieren (mit der Multiplikation als Operation), oder Strings (mit der Konkatenuation als Operation), aber du wirst nie eine Matrix oder einen String im Exponenten stehen haben. Die Potenzgesetze funktionieren für beliebige Gruppen mit beliebigen Elementen, aber die Exponenten sind immer nur natürliche Zahlen. Ok, später gibt es natürlich Verallgemeinerungen. Aber für den Anfang ist es einfach wichtig, eine gewisse "Typsicherheit" zu haben.

Deine Gruppenoperation ist also die Addition, 3^4 bedeutet dann also (in der additiven Gruppe jetzt, nicht in den natürlichen Zahlen oder so), dass du 4 mal die 3 addierst. Also 3+3+3+3. Das man stattdessen auch 3*4 schreiben kann, ist eher Glückssache, die dir hier das Leben einfacher macht, weil du so die Potenzen trivial berechnen kannst.

Und ja: (5 * 36) mod 36 ist trivial, die Schwierigkeit bei dieser Aufgabe besteht auch eher darin, die Begrifflichkeiten verstanden und die abstrakte Sichtweise auf Elemente und Operationen entwickelt zu haben. Danach solltest du also deinen Erfolg bei dieser Aufgabe bemessen, und nicht ob die die simple Rechnung am Ende schaffst, oder nicht :D
Lieber dumm fragen, als dumm bleiben!

birdfreeyahoo

Alter Hase

  • »birdfreeyahoo« ist der Autor dieses Themas

Beiträge: 764

Wohnort: Schorndorf

Beruf: Junior Software Engineer

  • Private Nachricht senden

9

26.01.2015, 00:11

Ok danke, ich glaub ich hab den Unterschied verstanden. Bei der Einheitengruppe war das ja noch einfach aber hier wusste ich gar nicht mehr was ich machen soll ^^
Da man die natürlichen Zahlen als Repräsentanten für Restklassen nimmt, kann man das leicht verwechseln.

Werbeanzeige