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Hi,

ich steh gerade vor folgendem Problem...

... ich möchte zu einer beliebigen Punktewolke die Kovarianzmatrix bestimmen und sowie deren Eigenvektoren/Eigenwerte.

[Theorie]
Dazu bestimme ich die Kofaktoren der Matrix C_{ij} = Cov(x_i, x_j)=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n (p^{'k}_i p^{'k}_j) wobei p^{'k} = p^k-m also der Vektor zwischen dem Mittel m = E[x] = \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n p^k und dem k-ten Punkt der Punktewolke ist.
[/Theorie]

Das liefert mir die (3x3)-Matrix, die auf den ersten Blick den Kriterien genügt (symmetrisch, hauptdiagonale positiv, usw...). Ich bekomme auch immer 3 reelle Eigenwerte aber (Achtung: das Problem) nie entsprechende Eigenvektoren. Zum berechnen der Eigenwerte such ich die Nullstellen vom charakteristischen Polynom und führ dann 3x den Gaussalgorithmus C_e = (C - I\lambda) aus.

Vielleicht seh ich den Wald vor lauter Bäumen ja einfach nicht, aber hat jemand eine Idee warum ich damit die Eigenvektoren nicht geliefert bekomme? Gibt es bei meiner verwendeten Vorgehensweisse bekannte Probleme? Die Eigenwerte scheinen zu stimmen (trace(C) = ev[0] + ev[1] + ev[2] trifft zumindest zu).

Besten Dank,
David

Ich meine damit, das C_ex nicht unterbestimmt ist, daher bekomm ich (meißtens) keinen Eigenwert für den entsprechenden Vektor. Natürlich wird bereits versucht das zu lösen.

Zitat von »"Black-Panther"«

Ich weiß nicht, ob du dich hier vertippt hast:

C_e = (C - I\lambda)

oder ich es schlicht falsch interpretiere (was soll der \ bedeuten?). Um aber aus einem gegeben EigenWert den eigenvektor zu bekommen musst du nur das lineare Gleichungssystem (Gauss) lösen:

(C - I3 * lambda) * EV = 0

Die Ausdrücke sind in Latex-Syntax, dort steht \lambda für... naja, Lambda! ;-)
Wie da Vorgehen funktioniert ist mir klar, das LGS löse ich (wie oben bereits geschrieben). Allerdings scheint die geometrische Vielfachheit in 99% der Fälle 0 zu sein, was nicht sein kann/darf. D.h. ich bekomme die gewünschten (korrekten Eigenwerte) aber aus der Umformung (per Gauss) resultiert nichts Sinnvolles.
Meine Vermutung ist, dass das Vorgehen numerisch zu instabil ist und daher keine sinnvollen Ergebnisse geliefert werden. Ich hab zwar versucht die Umformung zu stabilisieren indem ich pivotisiere, aber das hilft wohl auch nur unzureichend.

Zitat von »"Nox"«

Schonmal einfach testweise ein einfaches Beispiel rausgesucht, bei dem das Berechnen scheitert und mal von Hand (oder mathematica/wolframalpha etc) nachgerechnet?

Der Algorithmus funktioniert für "einfache" Beispiele. Das Problem tritt erst bei der Anwendung auf die berechneten Kovarianzmatrizen auf. Ich schätze mal das Verhalten lässt sich mit Mathematica nicht ohne weiteres simulieren, die rechnen dort mit wesentlich höherer Präzession. Ich hab den Test allerdings mal hier gemacht und bekomme dort ähnliches Fehlverhalten.

Beispielsweisse liefern mir folgende Daten, folgendes Ergebnis:

Zitat von »"Nox"«

Naja ich schlug mathematica vor, WEIL es wahrscheinlich sehr präzise ist und man so ggf. vergleichen kann.

Dafür müsste ich erstmal ein brauchbares Ergebnis bekommen. Ich weiß ja das die Matrix genau 3 Eigenvektoren haben muss. Vergleichen kann ich dann immer noch!