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Kommt drauf an, was bei dir ein "Touch-Button" ist und in wie weit du das Objekt bewegen willst.
Unter Input gibt es GetTouch(int index), touchCount und touches. Über die richtige Camera (kann bspw. über Camera.main ermittelt werden) kann man aus der Position auf dem Bildschirm eine Position in der Szene ermitteln oder ermitteln, welche Objekte vom Touch berührt werden (Stichwort "Raycast").

Wenn das Bewegen ein "statisches" (unabhängig von der Fingerbewegung) anpassen der Position ist, sollte das kein Problem sein. Soll man ein Objekt mit dem Finger verschieben können, muss man bloß den Finger verfolgen, der vorher das Verschieben begonnen hat. (Anmerkung: GetTouch nimmt den Index des Touchs entgegen, nicht dessen ID. Wenn man einen Touch anhand der ID benötigt, muss man touches durchsuchen.)