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Quaternionen Frage

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dot

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1

01.09.2005, 13:16

Quaternionen Frage

die gesamte quaternionsalgebra basiert ja auf den grundlegenden regeln für die multiplikation der komplexen einheiten i, j und k:

i² = j² = k² = ijk = -1

ij = k
ji = -k
jk = i
kj = -i
ik = j
ki = -j

das ist was in jedem tutorial und buch über quaternionen irgendwo am anfang steht.
leider aber auch nicht mehr.
mich würde interessieren, warum das so ist.
dem alten hamilton ist das ja angeblich beim spazierengehen eingefallen, ich denk aber nicht einfach so ohne dass er sich was dabei gedacht hat oder eine vorstellung dazu hatte.
weis jemand von euch wie er dazu kam, oder soll ich auch spazierengehen gehen!?

ich stells mir vor wie beim kreuzprodukt von zwei vektoren einer orthonormalbasis im R³, das den jeweils dritten ergibt.
da man sich ja die komplexen i, j und k als raumachsen vorstellen kann, ist meine vorstellung vermutlich nicht gar so abwegig, aber da quaternionen älter als vektoren sind, kannte man damals ja auch kein kreuzprodukt...

rewb0rn

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2

01.09.2005, 17:06

ich glaube das ist mathematisch gar nicht begründet, sondern einfach eine definition, mit der danach dann weitergearbeitet wird, also nach dem motto, nehmen wir mal an, dass...

Phil_GDM

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3

01.09.2005, 17:13

Zitat von »"Spik)evil("«

ich glaube das ist mathematisch gar nicht begründet, sondern einfach eine definition, mit der danach dann weitergearbeitet wird, also nach dem motto, nehmen wir mal an, dass...


Also dass glaube ich nicht. Nachdem man in der Mathematik sogar beweißen kann dass 1 + 1 zwei ist, gibt es bestimmt für die Mathematik mit Quaternions für beinahe Alles eine Begründung bzw. einen Beweis.
Am ehesten wird man zu diesen Themen wohl etwas in hardcore ;) Mathematikbüchern finden.

mfg Philipp

rewb0rn

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4

01.09.2005, 17:25

Es gibt schon ne ganze Menge mathematischer Beweise, die auf einer Annahme basieren. Weil wenn du etwas annimmst und damit rechnest kannst du meistens irgendwann gegen Ende des Beweises sagen ob die Annahme wahr ist oder falsch.

Anonymous

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5

01.09.2005, 18:06

Frag lieber auf matheplanet.de oder planetmath.org, da findest du eher nen Experten der dir das auch wirklich begründen kann.

Dave

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6

01.09.2005, 18:35

Zitat von »"Spik)evil("«

Es gibt schon ne ganze Menge mathematischer Beweise, die auf einer Annahme basieren. Weil wenn du etwas annimmst und damit rechnest kannst du meistens irgendwann gegen Ende des Beweises sagen ob die Annahme wahr ist oder falsch.


so etwas nennt sich auch indirekter beweis...

dot

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7

01.09.2005, 19:30

ich hab mir schon ein hardcore mathe buch nur über quaternionen und deren anwendung besorgt ;)
aber über die multiplikationsregeln steht leider auch nicht mehr drin, als dass die eben so definiert sind.

Osram

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8

13.09.2005, 18:36

Ohne das gross geprüft oder durchdacht zu haben:

Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen ist IIRC leicht im polarkoordinatenbild zu sehen, es werden die längen multipliziert und der eine "Vektor" um den Winkel des anderen gedreht. Wenn ich Vktoren mit einer Länge von eins nehme, bleibt in diesem Fall nur eine Drehung über.

Quaternionen sind auch für eine Drehung da, insofern ist die analogie nicht so überraschend.

Zitat


Also dass glaube ich nicht. Nachdem man in der Mathematik sogar beweißen kann dass 1 + 1 zwei ist,


Ich bin mir sehr sicher, dass das eine Definition ist, IAW, zwei ist als Nachfolger von Eins definiert. Wie würdest Du sonst "Zwei" definieren?

Zitat


Es gibt schon ne ganze Menge mathematischer Beweise, die auf einer Annahme basieren. Weil wenn du etwas annimmst und damit rechnest kannst du meistens irgendwann gegen Ende des Beweises sagen ob die Annahme wahr ist oder falsch.


Nein, aus so einem Beweis kann nur rauskommen, dass es falsch ist (oder aber es kommt gar nichts raus ;)).

z.B. Ich nehme an, 3 = 4.
Ich multiplizere beide Seiten mit 0 und bekomme das zweifellos richtige 0 = 0. Daraus kann ich NICHT schliessen, dass die Annahme richtig war.

Wenn ich dagegen aus meiner Annahme etwas falsches (z.B. 0 = 1) folgere, muss meine Annahme zwingend falsch sein.
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