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So, wie Du das mit dem Sinus beschreibst, kann man es machen. Das ist die sogenannte Taylor-Reihe. Und um den Sinus von 270° auszurechnen, muss man keine 270 Zahlen addieren. Es gibt da eine Funktion, die angenähert die Sinus-Kurve ergibt.
Aber die Prozessoren verwenden sowieso stark optimierte Methoden.

Ich habe einmal einen Testbericht gesehen, wo man verglichen hat:
- Sinus, Cosinus, Sqrt "normal"
- Sinus, Cosinus, Sqrt per Tabelle

Auf allen halbwegs modernen Prozessoren war die erste Lösung schneller! Und soo oft verwendet man das Ganze ja nun auch nicht, dass man sich solche Gedanken drüber machen müsste...

Auch wenn ich nun nach fast einem Jahr nach meiner Exmatrikulation schon fast aus der ganzen Mathematik wieder raus bin (eigentlich schade, nach dem man 4,5 Jahre studiert hat, und eigentlich das Mathematik Vordiplom trotzdem fast in der Hand hatte), meine ich mich schwach zu erinnern:

In der Mathematik geht sehr viel über Potenzreihenentwicklung, dessen eine Sorte die sog. Taylorreihen sind, was David ja schon sagte.
(Es gibt auch noch Laurentreihen, aber das führt jetzt zu weit)

Der Trick ist der, das man die Sinus Funktion an der Stelle, wo man den Wert wissen möchte einfach mit einem Polynom annähert, welches an der gewünschten Stelle so ziemlich genau wie die Sinus Funktion verläuft.
Diese Polynome kann man nach bestimmten Berechnungsvorschriften finden und heissen Taylorpolynome.
Da dieser Unendlich sind, kann man theoretisch, mit steigender Anzahl der Summenden (In der Summenformel) eine beliebige Genauigkeit erhalten, sofern man bereit ist so lange zu rechnen.

Der Sinn dieses Vorgehens ist, wie schon gesagt: Für Computer, die damit 'komplizierte' Funktionen auf bekannte Operationen zurück führen können, und diese algorithmisch lösen können.

Diese Vorgenhensweisen beschreiben eine ganz neue Richtung in der angewandten Mathematik und nennt sich Numerik.
Die Numerik ist ein sehr weites Feld, ich selbst hatte es als sog. 'Spezialisierungsequenz' und hatte habe 3 Vorlesungsreihen (3 Semester) Numerik I - III gehört, welche Pro Woche 2 x 90 Minuten umfasste ...

Das zentrale Thema der Numerik ist, wie bereits oben schon gesagt, die Überführung von algebraischen Mathemethoden in algorithmische.

Ein Beispiel ist zum Beispiel die Gaussche Glockenkurve (Normalverteilung), die auf dem guten alten 10 DM Schein drauf war.

Vereinfacht man diese auf exp(-x*x) (in Worten: e hoch minus x quadrat), und will mit Hilfe der Schul-Mathematik die Fläche unter der Kurve von minus unendlich bis plus unendlich berechnen, so ist dieses Vorhaben zum scheitern verurteilt:
das algebraische Vorgehen würde vielleicht aus Partieller Integration, oder Substituion bestehen.
Auch wenn diese Funktion sehr einfach aussieht, findet man keine Stammfunktion von ihr - es gibt keine !!!)
In der Schule lernte man die Integrale, in dem man die Fläche unter der Funktion in sehr schmale Rechtecke aufteilte, und diese aufaddierte. Bildete man den Grenzwert hatte man ja bekanntlich das Integral.
Dieses Vorgehen klappt immer und ist nach dem selben Muster immer algorithmisch durchzuführen, da die Ausdrücke die berechnet werden müssen, sich aus der Funktion selber wieder zusammensetzen.
Nimmt man nun statt dem drunterliegenden Rechteck das Trapez, so hat man noch mehr Fläche mitgenommen, was natürlich auch das Ergebnis wieder genauer macht.
Durch weiterführende Methoden kann man dieses Spiel noch optimieren und so sehr genaue Algorithmen erhalten.

So, jetzt aber genug zum Thema Numerik/Mathe :-)
Wer Probleme mit Mathematik hat, kann mich aber gerne ansprechen.

Gruss Mirco