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Nur wie werden diese übergebenen Werte verwendet?

Die übergebenen Werte werden in der Initialisierungsliste benutzt, um den Member position zu initialisieren, wie du schon selbst erkannt hast.

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die {}-Klammern sind ja leer.

Ja, weil position schon durch die Initialisierungsliste initialisiert wird, und sonst gibt's in diesem Beispiel halt nichts zu erledigen.
Man könnte auch ohne Initialisierungsliste arbeiten. Dann hätte man keinen leeren Konstruktor, sondern würde position = sf::Vector2i(x, y); reinschreiben. Kommt in diesem Fall (nicht verallgemeinern!) auf's gleiche raus, man spart sich mit der Initialisierungsliste halt ein bisschen Schreibarbeit.

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Aber woher weiß der Konstruktor den Datentyp von x und y?

Der Datentyp von x und y steht doch da, nämlich int.

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Und wie kann man die Werte an den Konstruktor übergeben?

An welchen Konstruktor, den von SnakeSegment? Na ganz normal halt: SnakeSegment s(10, 20);

Im Fall von Klassen/Strukturen ist es egal, in welcher Reihenfolge die Deklaration von Member-Variablen und -Methoden bzw. Konstruktoren, Destruktor, Operatoren etc. erfolgt. Der Compiler macht das schon!
Du hast aber Recht: Beim Lesen des Codes von oben nach unten ist es für das Verständnis einfacher, wenn man zuerst einmal sieht, welche Member-Variablen es überhaupt gibt.

Zitat von »David Scherfgen«

Im Fall von Klassen/Strukturen ist es egal, in welcher Reihenfolge die Deklaration von Member-Variablen und -Methoden bzw. Konstruktoren, Destruktor, Operatoren etc. erfolgt. Der Compiler macht das schon!

Dem sollte man vielleicht noch eines hinzufügen: Die Reihenfolge ist in sofern egal, als das der Kompilier die Deklarationen findet und dann kennt, das war ja genau justmytwocents Frage. Allerdings ist die Reihenfolge wichtig, wenn es um das Thema Initialisierung geht: Angenommen man hat eine Klasse Game mit den Member-Variablen PlayerSprite und SpriteManager. Wenn PlayerSprite nun einen Initialisierten SpriteManager benötigt muss dieser in der Klasse zuerst deklariert werden. Das sollte man im Hinterkopf behalten und später bei komplexeren Programmen nochmal nachlesen wie genau das denn mit der Initialisierungsreihenfolge genau funktioniert.