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Heyho

Hier mal eine etwas theoretische Frage über Solid Angles. Ich hoffe hier kann mir jemand helfen.
Oft wird ein Raumwinkel in zwei verschiedenen Formen dargestellt: Entweder mithilfe einer Art Pyramide oder mithilfe eines Kegels.

Wie ich den Raumwinkel mithilfe einer Pyramide berechne, habe ich verstanden. Ich weiß auch, dass es egal ist, welche Form die Schnittfläche auf der Oberfläche der Kugel hat.

Dennoch ist mir schleierhaft, wie dies nachzuweisen ist.

Mein bisheriger Ansatz ist, den Radius des Schnittkreises (C für Circle) mithilfe der Bogenlänge zu errechnen, wobei §\psi§ der halbe Öffnungswinkel sein soll und somit in Radianten der Bogenlänge am Einheitskreis entspricht:
§dr_C = r d\psi§
Diesen Radius setze ich in die Formel für die Berechnung der Fläche eines Kreises ein:
§dA_C = \pi (dr_C)^2 = \pi (r d\psi)^2§

Jetzt könnte ich ja rein theoretisch über die ganze Kugel integrieren und dann mit der üblichen Oberflächenformel einer Kugel vergleichen:
§S_C = \int_0^\pi \pi (r \psi)^2 d\psi = \pi r^2 \int_0^\pi \psi^2 d\psi = \begin{bmatrix}\frac{1}{3} \pi r^2 \psi^3 \end{bmatrix}_0^\pi = \frac{1}{3} \pi^4 r^2§

Das stimmt aber nicht mit der üblichen Oberflächenformel überein: §4\pi r^2§

Was mache ich falsch? Wo ist mein Denkfehler?



Vielen Dank

Ah. Den Denkansatz mit der gekrümmten Oberfläche hatte ich auch schon mittlerweile während des Tages.

Es brauchte nur seine Zeit bis ich etwas hin und her gerechnet habe und deinen Link auf die Kugelkalotte. Da muss man erstmal wissen, das soetwas so heißt

§A_{Cap} = 2\pi rh§
wobei §h = r - r\cos\psi§.
Somit ist
§A_{Cap} = 2\pi r(r - r\cos\psi) = \Omega \int_0^r dr§ und da wir es am Einheitskreis haben möchten:
§\Omega = 2\pi (1 - \cos\psi) = 2\pi - 2\pi\cos\psi§ und somit:
§d\Omega = 2\pi\sin\psi d\psi§

Probe:
§A_{Cap} = A_{Rect}§
§\int_0^\pi 2\pi\sin\psi d\psi = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin\theta d\theta d\varphi§
§2\pi \int_0^\pi \sin\psi d\psi = 2\pi \int_0^\pi \sin\theta d\theta§
§2\pi [-\cos\psi]_0^\pi r^2 = 4\pi r^2§
§2\pi 2 r^2 = 4\pi r^2§


Und somit liegst du richtig, dass man nur von 0 bis §\pi§ integrieren muss


Vielen Dank!