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Hi Leute!

Ich war lange nicht mehr hier und gerade jetzt habe ich ein Problemchen. Es geht um Ebenen: genauer 2 davon als Hessesche Normalform.
Also pro Ebene eine Normale n mit Betrag 1 und die Entfernung e der Ebene von Ursprung.
Deren Schnittgerade will ich berechnen, in Punkt-Richtungs-Form: x + t * u.

Die Richtung ist einfach:
§u = n_1 \times n_2§

Jetzt brauch ich noch einen Punkt auf dieser Geraden. Das hat sich aber als garnicht so einfach herausgestellt, wenn man bedenkt, dass es doch eigentlich unendlich viele davon gibt.
Angefangen habe ich mit Gleichsetzen der Ebenengleichungen und das ganze als LGS gelöst. Funktioniert, ist mir aber zu "wackelig".
Dann habe ich Bleistift und Papier gezückt, etwas gezeichnet, Formeln aufgestellt, viel umgeformt und gekürzt und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:

§x = \frac{ n_1 \cdot e_1 + n_2 \cdot e_2 - \left ( n_1 \cdot e_2 + n_2 \cdot e_1 \right ) \cdot \left ( n_1 \circ n_2 \right ) }{ 1 - \left ( n_1 \circ n_2 \right )^{2}}§

Das funktioniert (getestet), aber kann man das noch sinnvoll weiterkürzen?

Hoffentlich gibt es ein paar Mathe-Pros hier, das ist nicht so ganz einfach.

Zitat von »BlueCobold«

Ich würde den Zähler ja zusammenfassen: (n1-n2)*(e1-e2)*(n1 . n2)
Ist weniger zu rechnen.

Nur ist aber: (n1-n2)*(e1-e2)*(n1 . n2) != n1*e1 + n2*e2 - (n1*e2 + n2*e1) * (n1.n2)


Dann gehts wahrscheinlich nicht mehr kürzer. Trotzdem danke!