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Wie hast du diesen Abstand denn berechnet ohne eben genau diesen Punkt zu berechnen!?

Das würde mich auch interessieren

Normalereise muss man sich (zumindest bei der herleitung) mit Hilfs-Ebenen behelfen, oder?

mfg CBenni::O

Der gesuchte Punkt nennt sich Lotpunkt oder Fusspunkt. Das Lot steht senkrecht zum Strahl, so findest du den Punkt.

Zitat von »dot«

Wie hast du diesen Abstand denn berechnet ohne eben genau diesen Punkt zu berechnen!?

Vermutlich indem er den Punkt in das entsprechende Koordinatensystem transformiert.

Hallo Master Chief,

um den Abstand zwischen zwei (windschiefen) Geraden zu ermitteln kannst du wie folgt vorgehen:

1. Du berechnest einen gemeinsamen Normalen-Einheitsvektor (also senkrecht zu beiden Geraden + Länge 1). Dabei gilt (wegen "senkrecht") das das Skalarprodukt zwischen dem gesuchten Vektor und den beiden Richtungsvektoren der Geraden gleich null ist. Es ergeben sich zwei Gleichungen mit drei (zumindest im dreidimensionalen Raum) Unbekannten, nämlich den Komponenten des gesuchten Vektors. Du kannst einen Wert beliebig wählen (denn die Länge des Vektors ist egal, er wird später eh normalisiert - also auf die Länge 1 gebracht) und die anderen beiden berechnen.
2. Jetzt den Normalen-Vektor auf die Länge 1 bringen. (Pythagoras)
3. Jetzt kannst du mit folgender Formel arbeiten, wobei d der gesuchte Abstand ist, q und p zwei Ortsvektoren zu je einem Punkt pro Grade und der Vektor n der berechnete Normalen-Einheitsvektor ist: §d= \left| [ \vec q - \vec p ] * \vec n \right| §

Hier für's bessere Verständnis noch eine Beispielaufgabe:

Die folgenden Geraden sind gegebn:

§g: \vec x = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} §
§ h: \vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} §

Man berechnet den gemeinsamen Normalen-Vektor (Skalarprodukt ist gleich null, da senkrecht):

§4n_{1} + 1n_{2} - 6n_{3} = 0§
§0n_{1} - 1n_{2} + 3n_{3} = 0§

Man wählt z.B. §n_{3} = 4§ und erhält §n_{1} = 3§ und §n_{2} = 12§.

Der Vektor wird normalisiert (Länge 1):

§\left| \vec n \right| = sqrt{3^{2} + 12^{2} + 4^{2}} = 13§

Somit teilt man die Vektor durch seine Länge um ihn wirklich einen Einheitsvektor zu bekommen:

§\vec n_{0} = \frac {1}{13} \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ 4 \end{pmatrix} §

Jetzt wird in die Formel eingesetzt und man ist fertig:

§d = \left| [ \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} ] * \frac {1}{13} \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ 4 \end{pmatrix} \right| = \frac {10}{13}§

Die Beispielaufgabe stammt aus "Lambacher Schweizer - Analytische Geometrie mit linearer Algebra".

Hoffe das hilft dir weiter?

Gruß
SaRu_

Zitat von »TGGC«

Zitat von »dot«

Wie hast du diesen Abstand denn berechnet ohne eben genau diesen Punkt zu berechnen!?

Vermutlich indem er den Punkt in das entsprechende Koordinatensystem transformiert.

Dann hat er den Punkt eben im entsprechenden Koordinatensystem berechnet, aka den Parameter der Parametergleichung bestimmt, das ändert ja nix dran dass er den Punkt eben bereits kennt!?

EDIT: Ich gehe natürlich davon aus dass er im Laufe seiner Berechnung den Strahlparameter bereits bestimmt hat da er sonst nicht wissen kann dass der Punkt überhaupt auf dem Strahl liegt...

hhmmm, also nach SaRus Ausführungen wäre ich jetzt in der Lage, den Abstand zu berechnen, aber wie man jetzt die entsprechenden punkte dazu findet, ist mir nicht klar :/

Zitat von »dot«

Dann hat er den Punkt eben im entsprechenden Koordinatensystem berechnet, aka den Parameter der Parametergleichung bestimmt, das ändert ja nix dran dass er den Punkt eben bereits kennt!?

EDIT: Ich gehe natürlich davon aus dass er im Laufe seiner Berechnung den Strahlparameter bereits bestimmt hat da er sonst nicht wissen kann dass der Punkt überhaupt auf dem Strahl liegt...

Den Fusspunkt in das Koordinatensystem umzurechnen hat aber nicht viel Sinn, denn der entspraeche ja nur dem Nullpunkt. Das der Fusspunkt den Abstand 0 zum Strahl hat, wissen wir aber schon per Definition.

Zitat von »n0_0ne«

hhmmm, also nach SaRus Ausführungen wäre ich jetzt in der Lage, den Abstand zu berechnen, aber wie man jetzt die entsprechenden punkte dazu findet, ist mir nicht klar :/

Das geht so, wie von mir beschrieben.

Zitat von »TGGC«

Den Fusspunkt in das Koordinatensystem umzurechnen hat aber nicht viel Sinn, denn der entspraeche ja nur dem Nullpunkt. Das der Fusspunkt den Abstand 0 zum Strahl hat, wissen wir aber schon per Definition.

Sry, ich versteh nicht wirklich worauf du hinauswillst...

Ein Koordinatensystem, aehnlich dem von Saru bei Punkt 3. q ist der Nullpunkt, n der Basisvektor.